Поправки для собственных уровней значимости при множественных сравнениях

* Поправки для собственных уровней значимости при множественных сравнениях.

* Рей,
* посылаю улучшенную версию синтаксиса с реализацией алгоритмов
* расчета скорректированных уровней значимости (p, p-values).
* Я добавила несколько "восходящих" (step-up) методов и описание к каждому
* алгоритму.

* Marta Garcia-Granero. 14.04.2002.

**************************

Заявление о снятии ответственности

Данный синтаксис предоставляется "как есть" без каких-либо гарантий.
Риск, связанный с качеством, производительностью и пригодностью его
для ваших целей вы полностью принимаете на себя. Пользуясь данной программой,
вы также принимаете на себя всю ответственность, связанную с выбором конкретного
алгоритма и последующим использованием результатов, полученных с помощью данной
программы.

ОПИСАНИЕ

Реализовано 8 алгоритмов корректировки уровня значимости. Они разделяются на
"одношаговые" (one-step), "нисходящие" (step-down) и "восходящие" (step-up) алгоритмы.

1. "Одношаговый" алгоритм Бонферрони (Bonferroni)
2. "Одношаговый" алгоритм Сидака (Sidak, см. ссылки 1 и 2]
3. "Нисходящий" алгоритм Холма (Holm, см. 3)
4. "Нисходящий" алгоритм Сидака (Sidak, см. 1,2,4 и 5)
5. "Нисходящий" алгоритм Финнера (Finner, 4 и 5]
6. "Восходящий" алгоритм Хоммеля (Hommel, см. 6 и 7)
7. "Восходящий" алгоритм Хокберга (Hochberg, 8)
8. "Восходящий" алгоритм Саймса (Simes, 9)

Корректность реализации проверена утилитой Multiplicity (2.0) 
(автор - Barry W. Brown. Университет Техаса, Раковый центр Андерсона (M D Anderson Cancer Center)).

АЛГОРИТМЫ

Используем следующие обозначение:

n =     число уровней значимости (p-values)
p(i)  = i-й уровень значимости по порядку, начиная с наименьшего, i=1..n
p#(i) = скорректированный (исправленный) вариант уровня значимости p(i)

В одношаговых алгоритмах собственные уровни значимости (p-values)
сравниваются с предопределенным значением, которое является функцией от альфа (заданного
уровня значимости) и n - числа уровней значимости.

(Здесь и далее автор дает классическое словесное описание алгоритмов, когда предполагается
корректировка наперед заданного уровня значимости "альфа" для сравнения с собственными уровнями значимости
проверок (обычно это предполагает уменьшение "альфа"). На самом же деле синтаксис проводит корректировку собственных уровней значимости, чтобы упростить процедуру
сравнения с наперед заданным значением альфа (например, 0.05, 0.01, 0.001 и т.д.) (обычно это предполагает
увеличение p(i) - примеч. перев.)

- "Одношаговый" алгоритм Бонферрони:
  p#(i)=n*p(i)

- "Одношаговый" алгоритм Сидака:
  p#(i)=1-(1-p(i))^n


В нисходящих методах значения p-values обрабатываются в порядке от 
меньшего к большему. Как только обнаруживается p-value, достаточно большое (с точки зрения
критерия на основе альфа и позиции значения p-value в упорядоченном списке), данное p-value
и ВСЕ последующие (большие, чем данное), не позволяют отвергнуть соответствующие нулевые гипотезы.

- "Нисходящий" алгоритм Холма:
  p#(i)=(n-i+1)*p(i)

- "Нисходящий" алгоритм Сидака:
  p#(i)=1-(1-p(i))^(n-i+1)

- "Нисходящий" алгоритм Финнера:
  p#(i)=1-(1-p(i))^(n/i)


В восходящих алгоритмах значения p-values исследуются в порядке от большего
к меньшему. Как только обнаруживается значение p-value, достаточно малое (с точки зрения
критерия, основанного на альфа и позиции p-value в упорядоченном списке), данное p-value и
ВСЕ последующие (меньшие, чем данное) ведут к отвержению соответствующих нулевых гипотез.

- "Восходящий" алгоритм Хоммеля:
  p#(i)=n*Cn*p(i)/i
  Cn=1+1/2+ ... +1/n

- "Восходящий" алгоритм Хокберга:
  p#(i)=(n-i+1)*p(i)

- "Восходящий" алгоритм Саймса:
  p#(i)=n*p(i)/i

См. в [10] общий справочный материал по алгоритмам коррекции собственных уровней значимости.

ЛИТЕРАТУРА

 1. Sidak Z (1967) "Rectangular Confidence Regions for the Means of
    Multivariate Normal Distributions" American Statistical Association, 62, 626-633.
 2. Sidak Z (1971) "On probabilities of rectangles in multivariate Student
    distributions: their dependence on correlations" Ann Math Statist, 42, 169-175.
 3. Holm S (1979) "A Simple Sequentially Rejective Multiple Test Procedure"
    Scandinavian Journal of Statistics, 6, 65-70.
 4. Finner H (1990) "Some New Inequalities for the Rnad Distribution With
    Application to the determination of Optimum Significance Levels of
    Multiple Range Tests" Journal of the American Statistical Association, 85, 191-194.
 5. Finner H (1993) "On A Monotonicity Problem in Step-Down Multiple Test
    Procedures" Journal of the American Statistical Association, 88, 920-923.
 6. Hommel G (1988) "A stagewise rejective multiple test procedure based on
    a modified Bonferroni test" Biometrika, 75, 383-386.
 7. Falk RW (1989) "Hommel's Bonferroni-type inequality for unequally
    spaced levels" Biometrika, 76, 190-191.
    8. Hochberg Y and Benjamini Y (1990) "More powerful procedures for multiple
    significance testing" Statistics in Medicine, 9, 811-818.
 9. Simes RJ (1986) "An improved Bonferroni procedure for multiple tests
    of significance" Biometrika, 73, 751-754.
10. Westfall PH and Young SS (1993), Resampling-Based Multiple Testing:
    examples and methods for p-value adjustment. New York: John Wiley and Sons.

********************************************************************************.

* НАЧАЛО СИНТАКСИСА

* Создадим набор данных с собственными уровнями значимости. Замените их на те, что есть у вас *.
DATA LIST list / pvalue(f9.4).
BEGIN DATA
0.0728
0.0023
0.3829
0.0041
0.0101
0.4557
END DATA.

* НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ *.
COMPUTE id=$CASENUM.
FORMAT id (F2.0).
SORT CASES BY  pvalue (A) .
COMPUTE pos=$CASENUM.
FORMAT pos (F2.0).
*>>>>> Этот раздел добавлен Реем Левеком <<<<<<<.
* Найдем число значений p-value.
RANK pvalue /n into N /PRINT=NO.
* Переменная N содержит икомую величину (фактически - число наблюдений в файле).
*>>>>>> Конец раздела, добавленного Реем <<<<<<<.

* РАСЧЕТ ИСПРАВЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ P-VALUES *.
* (1) Одношаговые методы *.
COMPUTE bonferr=pvalue*n.
IF bonferr>1 bonferr=1.
COMPUTE sidak=1-(1-pvalue)**n.
* (2) Нисходящие методы *.
COMPUTE holm=(n-pos+1)*pvalue.
IF holm>1 holm=1.
IF (holm<LAG(holm,1)) holm=LAG(holm,1).
COMPUTE downsidk=1-(1-pvalue)**(n-pos+1).
IF (downsidk<LAG(downsidk,1)) downsidk=LAG(downsidk,1).
COMPUTE finner=1-(1-pvalue)**(n/pos).
IF (finner<LAG(finner,1)) finner=LAG(finner,1).
* (3) Восходящие методы *.
COMPUTE cn=1/pos.
DO IF $casenum>1.
COMPUTE cn=cn+lag(cn,1).
END IF.
SORT CASES BY pos(D).
IF cn<lag(cn,1) cn=lag(cn,1).
COMPUTE hommel = cn*n*pvalue/pos.
IF hommel>1 hommel=1.
IF (hommel>LAG(hommel,1)) hommel=LAG(hommel,1).
COMPUTE hochberg=(n-pos+1)*pvalue.
IF (hochberg>LAG(hochberg,1)) hochberg=LAG(hochberg,1).
COMPUTE simes=n*pvalue/pos.
IF (simes>LAG(simes,1)) simes=LAG(simes,1).

* ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ *.
FORMAT bonferr to simes (f9.4).
VARIABLE LABELS id '№№' /pvalue 'p исходн.' /pos 'Ранг'
        /bonferr 'Одношаговый Бонферрони' /sidak 'Одношаговый Сидака'
        /holm 'Нисходящий Холма' /downsidk 'Нисходящий Сидака'
        /finner 'Нисходящий Финнера' /hommel 'Восходящий Хоммеля'
        /hochberg 'Восходящий Хокберга' /simes 'Восходящий Саймса'.
SORT CASES BY pos (A).
REPORT FORMAT=LIST AUTOMATIC ALIGN(CENTER)
  /VARIABLES=pos id pvalue bonferr sidak
  /TITLE "Исходные и скорректированные величины p (одношаговые алгоритмы)".
REPORT FORMAT=LIST AUTOMATIC ALIGN(CENTER)
  /VARIABLES=pos id pvalue holm downsidk finner
  /TITLE "Исходные и исправленные величины p (нисходящие алгоритмы)".
REPORT FORMAT=LIST AUTOMATIC ALIGN(CENTER)
  /VARIABLES=pos id pvalue hommel hochberg simes
  /TITLE "Исходные и исправленные величины p (восходящие алгоритмы)".

********************************************************************************.

* КОНЕЦ СИНТАКСИСА.